Teoría De Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS

Teoría Intuitiva De Conjuntos. La definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva: un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepción nuestro pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. Igual que en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un predicado (la colección de objetos que satisface el predicado).

Listar los objetos. De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda definido si es posible describir completamente sus elementos. El procedimiento más sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos, se llama definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los elementos del conjunto. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈ A.  En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a ∉ A.

La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que, dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo, si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado, el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

SIMBOLOGÍA DE CONJUNTOS
Símbolo	Descripción
{}	conjunto
∈	Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.
∉	No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.
l	Tal que.
n (C)	Cardinalidad del conjunto C.
U	Conjunto Universo.
Φ	Conjunto Vacío.
⊆	Subconjunto de.
⊂	Subconjunto propio de.
⊄	No es subconjunto propio de.
>	Mayor que.
<	Menor que.
≥	Mayor o igual que.
≤	Menor o igual que.
∩	Intersección de conjuntos.
∪	Unión de Conjuntos.
A'	Complemento del conjunto A.
=	Simbolo de igualdad.
≠	No es igual a.
...	El conjunto continúa.
==>	Entonces.
⇔	Si y sólo si.
∼	No (es falso que).
∧	Y
∨	O

LÓGICA PROPOSICIONAL

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).

Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.  

Las operaciones sobre conjuntos y los conectivos de la lógica proposicional son similares.

En la tabla que sigue señalamos la analogía existente entre ambas

A ∩ B	p ∧ q
A ∪ B	p ∨ q
Ac	¬p

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. 

Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A, B ... los conjuntos y 

por las correspondientes minúsculas a, b ... sus propiedades características 

(es decir, la proposición lógica o conectivo lógico que caracteriza a los elementos de cada conjunto); 

entonces se tiene la siguiente correspondencia: 

  

Conjuntos	A Í B	A = B	A È B	A Ç B	A'	A - B	A D B
Proposiciones	a Þ b	a Û b	a Ú b	a Ù b	a'	a Ù b'	a Ú b

Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología.
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa; a modo de ejemplo: 

A È ( A Ç B ) = A	a Ú ( b Ù c ) Û a
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	a Ú ( b  Ù  c ) Û ( a Ú b ) Ù ( a Ú c )
( A È B )' = A' Ç B'	(a Ú b )' Û a' Ù b'

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ú p'.

Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ù p'.

Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa". 

USO DE CONJUNTOS EN LA TOMA DE DECISIONES

La Toma de Decisiones (TD) es un proceso complejo y una de las actividades fundamentales de los humanos. Es necesario familiarizarse con el conjunto de la toma de decisiones y sus componentes. Debido a que la mayoría de las tomas de decisiones tienen efecto sobre la gente, no es posible ignorar la influencia de las relaciones humanas en una decisión.

La representación de un problema puede tomar diferentes formas y es de ayuda para reunir y mostrar el problema o los parámetros de la decisión. Sin embargo, una vez que se ha procesado toda la información y comprendido cuáles son los elementos fundamentales para la construcción de la toma de decisiones, se requiere de no cometer fallas por parte de quien tomará las decisiones.

El tomador de decisiones debe tener buen juicio para saber que tanta información debe recoger, la inteligencia para dirigir la información ycel valor para tomar la decisión que se requiere cuando ésta conlleva un riesgo.

La tarea de entender una organización es compleja por cuanto ésta se desenvuelve en un mundo en el cual nada está quieto. Por otro lado, la estructura organizacional requiere de instrumentos que en poco tiempo le informen sobre la organización y las condiciones de ésta; a efectos de llevar a la empresa al logro de su objetivo. 

EJEMPLO DE CONJUNTOS

Vamos a designar como “A” al conjunto de un equipo de fútbol al que llamaremos “blanco”; y los elementos son:

{Luís, José, Mario, Rodrigo, Manuel, Jacinto, Pedro, Ernesto, Fausto…}

Para distinguirlo como elementos del conjunto A se escribiría así:

A= {Luís, José, Mario, Rodrigo, Manuel, Jacinto, Pedro, Ernesto, Fausto…}

Como resulta muy largo de escribir el nombre de cada uno; se reducirá así:

A= {x½x miembro del equipo blanco}

Para aclarar que alguno de los jugadores es miembro del equipo anotaríamos lo siguiente:

Sea A= {x½x es miembro del equipo blanco}

Todos los miembros del equipo blanco se llamarán (hipotéticamente) “n” y este nombre se le asignará a cada jugador escribiéndose así:

n ∈ A

Se lee “n pertenece al conjunto A”   y por lo tanto n pertenece al equipo blanco.

Si existe un equipo azul al que designaríamos como “B” y sus elementos como f,  decir que no pertenece al conjunto A se harían de este modo:

f ∉ A

Se lee f no pertenece al elemento A.