Tabla de verdad
Existen unas leyes
lógicas de gran importancia a partir de las cuales podemos analizar y resolver
Los problemas ante
los que nos hallemos:
a) Lógica del opuesto:
Sean dos elementos, p y q, tales que p es el
opuesto de q. Si, entonces,
p
|
¬p
|
1
|
0
|
0
|
1
|
Un ejemplo cotidiano sería: si voy al parque ( ); no voy al parque es falso ( ).
NOTA: ciertos
autores, en vez de poner 1 y 0 para determinar el estado lógico de un elemento,
Proposición,… (Que
indican, como ya se ha explicado, verdadero o falso), prefieren poner V y F,
Respectivamente. Se
corresponde, pues:
b) Lógica del conjunto:
Sean p y q dos
elementos cualesquiera; entonces, será:
p
|
q
|
p ^q
|
1
|
1
|
1
|
Las
leyes de la lógica enunciativa
Constituyen
las formas enunciativas universalmente válidas. Son muy importantes en
matemáticas. Porque a partir de ellas resultan las reglas de inferencia,
que sirven para pasar de enunciados Verdaderos (V) a nuevos enunciados
verdaderos. Las leyes más importantes de la lógica .Enunciativa son:
a) Ley
del tercio excluido:
Es la ya nombrada lógica del opuesto: si p es V,
entonces ¬p es F. Se llama “ley del tercio Excluido”
porque un elemento p puede tener tres posibilidades: V,
F o ?. Si es V, no puede ser F; si es
F, no puede ser V; de manera que excluimos un tercio de posibilidades:
b) Ley de
la contradicción:
Por
extensión del anterior, podemos afirmar que no puede ocurrir a la vez que p sea
V y F:
c) Ley de
la negación negada (o negación doble):
Es muy
usado en el lenguaje cotidiano; responde al ya nombrado principio de “la
negación de La negación es la afirmación”:
d) Ley Dual
de De Morgan:
La
Primera Ley de De Morgan afirma que negamos el conjunto de elementos p, q,…Relacionados
por el conjunto ( ) si y sólo si se cumple ¬p o ¬q: La
Segunda Ley de De Morgan afirma que negamos el conjunto de elementos p, q,… Relacionados
por el disyuntor lógico ( ) si y sólo si p y q son negados:
e) Leyes
del modus:
Las llamadas leyes del modus son bastante sencillas. A
continuación se detallan:
1. Ley
del modus ponens :
Afirma
que si se verifican y , se puede deducir . Por ello, también se denomina Ley
de
Separación:
2. Ley
del modus tollens:
Por
extensión de la Ley de Separación, podemos caer en cuenta de que si se
verifican ¬ y, se puede deducir: “Si
como, almuerzo; si no almuerzo, no como” (Nótese que si no como, no
necesariamente No almuerzo, de manera que no siempre sería cierto el
enunciado).
3. Ley
del modus bárbara:
En
realidad esta ley es una regla de inferencia (permite pasar de enunciados V a
nuevos
Enunciados
V) en cadena, ya que sostiene que si se verifican y , entonces
“Si me
caigo, me hago daño, y si me hago daño, lloro; por lo tanto, si me caigo,
lloro”.
f)
Primera y Segunda Ley distributiva:
1.
Primera Ley distributiva:
Afirma la
siguiente obviedad: “Si como y (almuerzo o ceno); entonces bien (como y
almuerzo) o bien (como y ceno)”.
2.
Segunda Ley distributiva:
Por extensión de la Primera Ley distributiva,
deducimos que “Si como o almuerzo y ceno, entonces como o almuerzo y como o
ceno”.
g) Leyes de
Idempotencia:
1. Ley de
Idempotencia Conjuntiva:
Sea el elemento p y el operador; se llama Ley
de Idempotencia conjuntiva a la expresión “Si me voy a comprar y me voy a
comprar; me voy a comprar” (Nótese que esta ley lógica Es de uso cotidiano
en nuestras vidas: si le preguntan que ha hecho hoy y ha hecho poco,
Tenderá a
repetir elementos –he ido a por el pan, a la peluquería, a clase, me he leído
un Libro, he ido a comprar pan para comer. – si bien con que se diga una vez basta,
como Afirma esta ley).
2. Ley de
Idempotencia Disyuntiva:
Sea el
elemento p y el operador; se llama Ley de Idempotencia Disyuntiva a la
tautología:
“O
estudia o estudia” es lo mismo que decir “estudia”.
En
efecto, entonces, de ambas leyes obtenemos. Por tanto, la Ley de
Idempotencia
Trascendida afirma que
h) Leyes
de Absorción:
1. Ley de
Absorción Conjunto disyuntiva:
Sean los
elementos p y q; se cumple
Lógica proporcional
Los
conectivos lógicos proposicionales permiten construir estructuras para pensar
Hay muchas maneras de estructurar nuestro pensamiento. Entre las más comunes están las “conectivas
lógicas proposicionales”, que son cualquier función de verdad. Antes de explicar qué son las funciones de
verdad, expliquemos el nombre de “conectivas lógicas proposicionales”:
Son
llamadas “conectivas” porque son
maneras básicas de conectar varias creencias.
Las más tradicionales son las seis siguientes:
·
La negación
·
La conjunción
·
La disyunción inclusiva
·
La disyunción exclusiva
·
El condicional material
·
La equivalencia material
Vamos a
presentar estas seis conectivas más abajo.
Mientras tanto, hay que saber que hay formas
de estructurar que no conectan. Por
ejemplo, los paréntesis que sólo agrupan pero no enlazan. Nosotros usaremos tanto paréntesis como
conectivas. Pero se notará que entre las conectivas está
la negación. ¿Qué es lo que
conecta? Suena raro decir que la
negación “conecta” a una sola proposición.
Es claro que la metáfora de la conexión no debe tomarse demasiado en
serio.
Como vamos a
estudiar los poderes inferenciales de nuestras conectivas, les llamaremos “lógicas”. Por supuesto, hay maneras de enlazar
proposiciones con fines puramente retóricos o poéticos sin que haya ninguna
relación inferencial, por ejemplo, con exclamaciones como “¡Vaya!” o
“¡Caramba!”. Nosotros nos limitaremos de
momento al aspecto lógico. Ahora bien, las conexiones lógicas pueden darse
entre muchas cosas. Por ejemplo, entre
conceptos, como cuando conectamos a la racionalidad con la animalidad en
nuestra idea de ser humano. Las
conectivas que veremos aquí conectan a proposiciones que expresan nuestras
creencias. Por ello les llamamos “proposicionales”.
Un conectivo lógico proposicional es una función de verdad
Cada razonamiento involucra una
secuencia de proposiciones. Nos interesa
estudiar la forma lógica de esas secuencias pues la corrección de nuestros
razonamientos depende de cómo se relacionen lógicamente tales proposiciones. Una relación usual es que el valor de verdad
de una proposición compuesta dependa del valor de verdad de las proposiciones
atómicas que contenga. Por ejemplo, la relación que guarda “La persona es
espíritu y la persona es cuerpo” con “La persona es espíritu” y “La persona es
cuerpo” es justamente que cuando alguna de las proposiciones atómicas falla, la
proposición compuesta falla también, pero sólo en esos casos.
Lo interesante es que podemos
calcular mecánicamente el valor de la proposición compuesta simplemente
revisando el valor de verdad de sus integrantes. Esto es lo que queremos decir
al afirmar que el valor de verdad del compuesto es una función del valor
de verdad de las partes. En otras palabras, la conjunción es una función de
verdad porque su verdad depende tan sólo de la de sus componentes. También lo
son la negación y la disyunción.
Cualquier expresión lógica que forme siempre compuestos en los que baste
conocer el valor de verdad de sus partes para saber el valor de verdad de ese
compuesto, es una expresión veritativo-funcional.
Podemos definir a las conectivas
lógicas proposicionales como funciones de verdad, es decir, expresiones que
permiten construir proposiciones complejas cuyo valor de verdad es una función
(depende por entero) del valor de verdad de las expresiones constituyentes.
Lo importante es que al analizar un
argumento con las técnicas que se verán en esta unidad, debe recordarse que
este curso sólo ambiciona manejar las relaciones lógicas veritativo-funcionales
y que las técnicas elementales que se estudiarán aquí pueden necesitar
ulteriores refinamientos. Por lo general, el conectivo veritativo-funcional
recoge la afirmación mínima que se hace con toda una clase de enunciados en
lenguaje natural. Precisamente por perder información es que podemos simbolizar
prudentemente sin temor de poner en boca de un autor algo que él no dijo.
La negación
La primera conectiva lógica proposicional (función de verdad) que
examinaremos es la negación. Hay muchas
maneras de negar algo:
El dinero no es la felicidad.
Es falso que el dinero sea la
felicidad.
No es el caso que el
dinero es la felicidad.
El dinero es cualquier cosa menos la felicidad.
Es inaceptable decir que el
dinero es la felicidad.
Delira quien sostiene que el
dinero es la felicidad.
No se afirma con verdad que el dinero es la
felicidad.
Todas éstas son negaciones de la oración atómica “El dinero es la
felicidad”. Pero en lógica no buscamos la variedad sino la precisión al
comunicar. Y para que no haya malos entendidos es mejor tener una sola
expresión que señale a la negación y a nada más. El símbolo que usaremos
(porque es fácil de escribir a máquina) es “-”. Así, todas las expresiones
anteriores para negar que el dinero es la felicidad se reducen a -(El dinero es
la felicidad). Aunque se pierden matices
estilísticos, se gana en precisión.
Para definir la negación, debemos
decir exactamente cuál es su función lógica.
Para nuestros intereses, negar una proposición P es simplemente asegurar
que P es falsa. En otras palabras, la negación de P es verdad si P es falsa;
pero falsa si P es verdad. Esto se puede visualizar en la figura 1 que presenta la Tabla de Verdad de la
negación. Nos muestra el valor de verdad de la proposición compuesta de acuerdo
a los valores de verdad que tengan las proposiciones atómicas. Aplicando la figura 1 a nuestro ejemplo,
tenemos
El dinero es la felicidad
|
No es cierto que el dinero es
la felicidad
|
Verdad |
Falso
|
Falso
|
Verdad
|
Ahora
bien, para negar algo no basta decir algo distinto. Una negación es como un polo completamente
opuesto: no hay más que uno. Por
ejemplo, “Vivimos en una dictadura” no es la negación de “Vivimos en una
democracia” porque hay otras posibilidades, es decir, esas dos alternativas no
son exhaustivas. Por otro lado,
las alternativas deben ser excluyentes.
Por ejemplo, “Elena es joven” no es la negación de “Elena es madre”
porque se puede ser una madre joven.
P
|
-P
|
V
|
F
|
F
|
V
|
Tabla de verdad de la negación. Otras simbolizaciones de –P son ~P, ØP y NP.
La
conjunción
Otra
expresión lógica es la conjunción. Si la afirmamos nos comprometemos con que
las dos proposiciones que une son verdaderas. Si no son verdaderas ambas, el compuesto
es falso. Ejemplos de conjunción son:
La persona es espíritu y cuerpo.
La persona es espíritu encarnado.
La persona es espíritu encarnando.
La persona es espíritu pero corporal.
La persona es tanto espíritu como cuerpo.
La persona es espíritu además de ser cuerpo.
La persona es espíritu y la persona es cuerpo.
La persona, ese espíritu, es también un cuerpo.
La persona es espíritu aunque es también cuerpo.
La persona es espíritu; sin
embargo, es corporal.
La tabla
de verdad de la conjunción es aparece en la figura 2. Aplicándola a nuestro ejemplo, tenemos
La persona es
espíritu
|
La persona es cuerpo
|
La persona es espíritu y la persona es cuerpo
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
F
|
Es decir,
una conjunción se simboliza como “&” (del latín et) y es verdadera
sólo cuando las dos proposiciones que la componen son verdaderas.
La disyunción inclusiva
Una
tercera expresión lógica muy común es la disyunción. Aparece usualmente como la llamada
“disyunción exclusiva”. La encontramos cuando tenemos que elegir una de dos
alternativas. Por ejemplo, “Los entes o
son o no son”. Esta disyunción “excluye” la posibilidad de que ambos hechos
ocurran. Aunque sea posiblemente la disyunción más común, nosotros emplearemos
una disyunción que “incluya” la posibilidad de que ambos disyuntos ocurran. Es
la llamada “disyunción inclusiva” simbolizada mediante “v” (del latín vel).
Por ejemplo, al decir “El ser humano es espíritu o es cuerpo”
entenderemos la disyunción en este manual como inclusiva; así, esa proposición
será verdad incluso si el ser humano es tanto espíritu como cuerpo.
Queda al
buen criterio del lector detectar cuándo se usa la disyunción como inclusiva o
como exclusiva. Un indicador de que se trata de inclusiva es el agregado “... o
ambas cosas”. Y un indicador de que se trata de exclusiva es el agregado
“... pero no ambas cosas”. Desgraciadamente la gente acostumbra omitir
estas aclaraciones, por lo que debemos analizar el contexto para decidir de qué
disyunción se trata.
El ser humano es espíritu
|
El ser humano es cuerpo
|
El ser humano es espíritu o el ser humano es cuerpo
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
V
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
P
|
Q
|
P & Q
|
V
|
V
|
V
|
V
|
F
|
F
|
F
|
V
|
F
|
F
|
F
|
F
|
Tabla de verdad de la conjunción.
Otras simbolizaciones de P&Q Son P·Q, PÇQ, PÙQ, y PQ.
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